Геометрия

«Нестандартные задачи на объемы многогранников»
(11 класс)
Учитель Ивасик Е.И.

«Обучение это ремесло, использующее
бесчисленное количество трюков.»
Д. Пойа
Тип урока: урок – диалог.

Цели урока:
обучающие:
• формирование умения применять теоретический материал для решения нестандартных задач;
• закрепление навыков решения задач на комбинацию геометрических фигур;
развивающие:
• развитие пространственного воображения;
• развитие познавательного интереса;
• развитие умения анализировать и делать выводы;
• развитие умения использовать знания, полученные на уроках информатики, на других предметах;
воспитывающие:
• воспитание чувства ответственности за выполненную работу перед коллективом;
• воспитание интереса к предметам естественно-научного цикла;
• воспитание эстетических качеств личности через предмет информатики и математики.

Работа учащихся в ходе  подготовки урока.
1. Выполнение группой учащихся  презентации, дающей наглядное представление о различных приемах решения геометрических задач.
2. Выполнение учащимся плаката с решением домашней задачи.

Дидактические материалы:  опорные конспекты к уроку.
Технические средства:  проектор, компьютер.
Оформление доски: на доске тема и эпиграф к уроку, плакат с решением домашней задачи.


Ход урока.
I.   Организационный момент.

II.   Устная работа. Проверка домашнего задания.
 Учитель. Один из математиков IX века говорил «Обучение - это ремесло, использующее бесчисленное количество трюков». Наша задача сегодня найти некоторые трюки, которые помогут решить геометрическую задачу более коротким путем. Тема сегодняшнего урока  «Нестандартные задачи на объемы многогранников». (На экране появляется тема урока). Вы работаете сегодня с опорными конспектами.
На дом вам была задана задача, в которой требовалось найти объем пирамиды, площадь ее поверхности и радиус шара, вписанного в пирамиду, если все боковые ребра равны, а плоские углы при вершине прямые. Кристине было предложено оформить решение задачи на плакате, потому что нам предстоит сегодня серьезно поработать над ее решением. Откройте домашние тетради и сравните свое решение с решением на доске. 

Дано:   CADB – пирамида
             CA=CB=CD=6см 
             ACB=BCD=ACD=90  
Найти:  V; Sп.п.; rш.


  

 

Решение:


Учитель.  Какие основные моменты надо отметить в этой задаче?
Ответ учащихся.
- Доказательство, что пирамида правильная.
- Знание формулы объема пирамиды, площадь боковой поверхности правильной пирамиды, площади правильного треугольника.
- Знание места положения центра шара, вписанного в правильную пирамиду.
 Учитель.  Были ли другие способы решения?
(Если были, то выслушать ответы учеников. Если нет, то продолжить беседу).
 Какие основные моменты вы можете отметить при нахождении объема?
Ответ учащихся.
- Доказательство, что пирамида правильная.
- Вершина проектируется в центр правильного треугольника.
 Учитель. Итак, я предлагаю вам найти объем пирамиды другим способом, который позволит практически устно вычислить объем пирамиды. (Учащимся предлагается 1 минута, они могут совещаться в парах. Если кто-то находит этот способ, то он делится со всем классом.)
Ответ учащихся.


- Пирамиду надо поставить на грань АВС, как на основание. Тогда ребро DC становится высотой пирамиды, и объем будет равен
(На экране появляется пирамида CADB, которая плавно переворачивается на грань ABC).
 Учитель. Это первый трюк – ПОВОРОТ ФИГУРЫ. (Учитель помещает на доску табличку с названием первого трюка).
 Переходим ко второму этапу решения задачи. Какие основные моменты можно отметить при нахождении площади полной поверхности пирамиды?
Ответ учащихся.
- Доказательство, что пирамида правильная.
- Применение формулы для нахождения площади боковой поверхности правильной пирамиды.
- Применение формулы для нахождения площади правильного треугольника.
 Учитель. При каком расположении пирамиды удобнее вычислять площадь полной поверхности? (После обсуждения учащиеся приходят к выводу, что в домашнем варианте удобнее, хотя соглашаются, что во втором варианте это тоже не сложно сделать).
 Это второй трюк – ПРИМЕНЕНИЕ ТРАДИЦИОННОГО ПРИЕМА. (Учитель помещает на доску табличку с названием второго трюка).
 Переходим к третьему этапу решения задачи.
 Какие основные моменты можно отметить при нахождении радиуса шара, вписанного в пирамиду?
Ответ учащихся.
- Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, есть точка пересечения высоты этой пирамиды и биссектрисы линейного угла двугранного угла при основании пирамиды.
- Свойство биссектрисы треугольника.
 Учитель. А теперь я предлагаю вам найти более простой способ нахождения объема пирамиды с использованием радиуса шара, вписанного в пирамиду. Работаем в группах с использованием опорных конспектов. (На экране появляется 1-ый кадр). У кого первого возникнет идея, поднимите руку и поделитесь ею со мной. (Если идея верная, то попросить рассказать о ней вслух. Если не возникает идея, то появляется второй кадр, где проведены радиусы.) Идет обсуждение…
 Появляется общая картинка, где пирамида разбивается на 4 пирамиды, у которой высотой является радиус, а основанием одна из граней.  
 Это третий трюк – РАЗБИЕНИЕ ФИГУРЫ НА ЧАСТИ. (Учитель помещает на доску табличку с названием третьего трюка).
 К доске вызывается ученик, который выводит формулу  , где r – радиус шара, S – площадь полной поверхности. Класс работает в опорных конспектах.
 Учитель. А теперь возьмем прямую призму, в которую тоже вписан шар. (На экране появляется картинка). Будет ли данная формула справедлива в этом случае? (Заслушиваются ответы учащихся). Сделайте общий вывод. Запишем его в конспекты.
 ВЫВОД. Если в многогранник можно вписать шар, то объем многогранника равен произведению 1/3 радиуса на площадь полной поверхности.
 Итак, повторим еще раз, какими трюками мы могли бы воспользоваться при решении домашней задачи. (Заслушиваются ответы учащихся).
 А теперь я вам предлагаю задачу, в которой используется комбинация этих трюков.
  На экране появляется текст задачи: В прямой призме ABCA1B1C1 через точки B,C  и А1 проведено сечение, площадь которого равна S, а расстояние от точки B1 до плоскости сечения равно h. Найти объем призмы.
Работаете 5 минут самостоятельно в парах. У кого появится идея, поделитесь со мной. Поэтапно решается задача. На экране появляются этапы решения. В ходе совместного решения приходим к ответу Vпр = Sсеч* h.

III.   Итог урока.
 Учитель. Еще раз вспомним основные трюки, которые позволили нам решить задачи более простым путем. (Перечисляются все трюки).
 Каждая решенная нами задача становится образцом, который послужит в последствии для решения других задач.

Урок разработан:
Завучем гимназии № 8 Ямполец И.Э.
Учителем математики гимназии № 8 Ивасик Е.И.
Учителем  информатики гимназии № 8 Терновых В.В.

 

ЗНАКОМЬТЕСЬ!

  Наш коллектив
  Наша гимназия

НАШИ ДРУЗЬЯ

Федеральный портал «Российское образование»
Единое окно доступа к образовательным ресурсам
Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов
Министерство образования и науки Российской Федерации
Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Контактные данные
• Директор:
Дзюба Ольга Андреевна
+7 (8152) 44-15-34

• Секретарь:
Манушкина Анжела Викторовна
+7(8152) 44-64-11

• Адрес электронной почты:
  • Адрес:
183039, Мурманская обл.,
г. Мурманск, ул. Книповича, д. 35/2
 


© Все права защищены "Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Мурманска "Гимназия № 8" Адрес: 183039 г. Мурманск, улица Книповича, д.35/2

Используется «Twilight CMS»